微元法

——以小博大的利器

在中学物理学习与解题的过程中，不可避免地要遇到微元法。微元法又称为小量分析。所谓“微元”或者“小量”，是指我们选取的研究对象所包含的质量、电量、长度、面积、 体积、时间、空间、角度、功、能量等可能为连续分布的无限逼近零值但又不为零值的物理量，即我们通常所说的无穷小量。

事实上，微元法的基本思想内涵早已渗透在我们的生活与生产中，九牛一毛、沧海一粟就是对微元思想最形象的描述，在古老的割圆术中，我们也能看到微元思想的影子。但直到牛顿时期，这一方法才被广泛地用于物理学与数学问题的分析，成为研究物理学与数学的基本方法之一.

微元法是中学物理学习中最常用的方法之一，它是一种从局部到整体的思维方法，其应用的具体功能表现在如下两个方面：化变量为常量。在研究物理问题时，常需建立相关物理量间的关系。对于研究的过程或者状态的整体来说，某些物理量各个局部的值并不是相同的，我们在这种情况下并不好直接建立有关物理量间的关系，但我们如果将这一过程或整体分割为无数个微元部分，由于所取的微元很小，其内部各部分间的差别也很小，其变化也得不到体现，这样就可以忽略其内部各部分间的差别，而认为描述它的物理量是定值，由此可用确定值的形式来建立相关量间的关系，找到适合于全过程的或者是整体的结论，然后再依次来解决问题。譬如，在变速直线运动中，为了描述某一时刻的速度，选取一个极短的时间间隔△t(△t=t2-t1)→0，在△t 的时间内，物体的位移△x同样也是小量，即△x→0，在这里，由于△t与△x均趋于零，物体速度的变化也就无法体现，于是，在△t时间内（也是△x的位移内）物体的平均速度与t，时刻的速度差别无法体现，所以这段时间内的平均速度即为f，时刻的即时速度，即口：△x /△t。 再如，在求滑动摩擦力大小恒定而物体做曲线运动的时候，摩擦力做功的问题，我们可以将物体运动的轨迹作微元处理，将轨迹分割为n→∞段，这样，每一段的长度△x自然满足△x→0，在这样的一小段内，轨迹的弯曲自然可以不加考虑，物体在每一小段的运动也就可以视为直线运动，这样就达到了“化曲为直”的目的，求得摩擦力在每一小段时所做的功，然后进行累加，就易得摩擦力在全程所做的功了。

显现隐性条件。物理问题的求解，要依据与此物理问题相关的一些物理条件，这当中有些条件往往未明显地直接给出，需要经过解题者对题目所给的一些明显的条件进行仔细分析，使一些隐含条件凸现出来，如何凸现这些隐含条件，往往是解决问题的关键所在，而对隐含的条件进行微元分析是凸现隐含条件的有效方法之一。譬如，可以通过对小量之间的关联，进而讨论宏观量之间的关联。再如，讨论处于平衡状态下的物体是否是稳定平衡的问题，我们是设想给物体一个微扰，在此基础上讨论物体的平衡状态是否被破坏，从而确定物体的平衡状态。通过类似的操作，我们可以将隐含在问题中的条件挖掘出来。

下面，我们就来讨论在中学物理学习中比较常用的小量比值.

在整个物理学中，很多物理量是通过小量之间的比值来定义的，若物体的质量在空间分布不是均匀的，则某一点的密度为ρ=△m/△V，式中△V→0为包含该点的体积元，△m→0为体积元△V内物体的质量。

如果作用在曲面上的压强是不均匀的，则曲面上某点的压强为p=△F/△S,式中△S →0为包含该点的充分小的面积元，△F→0为作用在△S上的正压力.

如果质点的位移x随时间t变化，则质点运动的速度在时刻t为v=△x/△t，其时刻t的加速度a=△v/△t等等……

事实上，如果物理量是变化的，或作用是不均匀的，或物理量的分布是不均匀的，则相应物理量的比值定义，都应采用小量比值定义的形式，这些定义式中的小量虽然都是趋近于零的，但是，它们的比值通常情况下都是有限值.

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