海淀区期中考试数学（理）试卷分析

精华学校 王威

2015年11月4日上午，北京市海淀区高三年级第一学期数学期中考试结束，这是高三开学以来第一次全区的统一测验，也是考生自高三总复习以来的第一次大考，是对以往复习成果的一次很好的检验；同时，试卷的命制也体现出了高考改革的最新思路，对考生今后的备考有一定的参考价值。所以，一次认真的试卷分析和考评是至关重要的。

【试卷整体内容分析】

纵观整篇试卷，结构稳定、难度略有提升、考点全面、主次分明，既体现了对核心数学思想和知识方法的考查，也兼顾了很多细节问题的考核；有基础的内容检测，也有数学能力和思维方法的检验。

一、知识点内容覆盖全面，分值分配合理

本次考试中，以三个重点模块即“集合与函数”、“数列”及“三角与向量”为主，其具分值分布如下：

知识模块

题目序号及分值

总分值

集合与函数

选择部分：1,2,6,7,8

填空部分：9

解答部分：18,20

共计57分

数列

选择部分：4

填空部分：11,14

解答部分：16,19

共计42分

三角与向量

选择部分：3,5,

填空部分：10,12,13

解答部分：15,17

共计51分

本次考核中，正如王老师在鼎级班课程中提到的一样，函数部分分值较高，体现出了函数部分知识在高考中的重要地位，同时，三角部分问题也有很多和函数图象变化相关。

从具体的知识点出发，试卷覆盖了不同模块几乎所有的知识内容，如函数模块，覆盖了集合、函数定义、基本初等函数、函数图象变化、函数与方程、函数与不等式、定积分、利用导数分析函数性态多个核心知识内容，是对考生这段时期复习全面的考核。另外，一些细小的知识也结合主干知识进行了考核，如试卷第6题，结合“函数图象与不等式”考核了简易逻辑中的充分必要条件的知识。

二、难度分配趋近于高考，总体难度略有提升

本次考试的难度分配合理，类似于近几年的高考难度分配。

中档题目比例有所提升，且灵活度更高，考察考生对于知识的掌握而非单纯对于固定题目的处理能力，这样在中难题目上提高了对考生的区分度。这也是导致这次考试难度略有提升的原因，很多考生会有“看着熟悉做着难”的感叹。这也是顺应新的高考变化的，以变化求难度。

难题部分依旧出现在8、14、20这三个各自类型题的压轴问题，都是对考生能力和思维的综合考核。第8题类似于2015年北京高考第14题，是关于参数影响函数图象变化的考核，不过本题在选择题部分，可以采用更为便捷的方式解决问题。第14题是以数列为背景的问题，但涉及了函数图像、不等式及恒成立问题，需要考生有良好的逻辑思维能力，及数形之间相互转化的能力。第20题，结合新的概念去考核学生利用图象取分析函数的能力，同时还考察了学生推理证明的能力，而且推理难度相对下降，虽然这种题目在高考中多以数列为背景，但是，这次以函数为背景也同样考核到了相应的能力。所以，难题的考核重在能力和思维，而非我们传统意义上对知识进行深层次挖掘或作出过分的综合。

三、重点突出，侧重考核重点的能力和方法

正如王老师在鼎级班及十一短训课时所讲，在前半学期的学习中，图形图像思维和逻辑推理能力是至关重要的考核内容，这些方法在本次期中考试当中多次出现，而且在中难题目当中屡次出现。

本篇试卷当中，可以利用图形解决或与图像相关的问题有：第2题、第5题，第6题、第7题、第8题、第10题、第12题、第13题、第14题，及解答题中的四个问题。把这些题号罗列出来，相信比任何语言都有说服力了。而且，其中一些问题利用图象解决颇为方便快捷，远强于纯代数的解法，而且很多问题均需要基于图形图象进行相应的分析。

另外，试卷中的难题也体现出了对于逻辑推理部分的要求，如第14题第（ii）问，需要利用化归思想问题进行转化；在第20题第（Ⅱ）中，需要考生利用反正的思路对问题予以解释和说明。

【试卷重点题目分析】

第4题

【答案】C

【解析】本题难度适中，但是却是一道易错题，这里考核了公式

的适用范围，此公式正是王老师在考前刚刚说明的，使用范围是

，

时要单独考虑，如果直接利用题目给出的条件

得到通项，很容易选择D选项。

第6题

【答案】C

【解析】本题是结合图象与不等式考核充要条件的问题，不等式和充要条件的结合问题，使用王老师之前说的“集合对应法”最方便不过，那么核心问题在于解决不等式求解，这里就又要涉及到图象的绘制，我们把不等式

转化为

即可绘制图象如下：

通过图象便可以解决相对应的不等式求解问题，也应证了我们之前提到的图形图象部分的重点考核。

第7题

【答案】A

【解析】这道题目相信有些同学会被题目当中给出的三等分点引向代数求解的“不归路”。当然，不是说代数求解不能求解问题，而是这道题目利用图象求解更为方便。题目当中给出了

的图象，我们知道，

的图象与

的图象关于

对称，我们可以直接把两个图象变为指数函数去做相应的比较。这种比较方式利用老师上课提到的

这条直线即可。

第8题

【答案】D

【解析】本题这种类型的考核基本上已经成了海淀期中固定的考核形式，这里涉及到分段函数和二次函数图形的关系，如果按部就班完成这个问题难度较大，我们可以利用选项给出的细节处理问题，首先，我们可以发现，若二次函数开口向下，明显有两个实根，如下图所示：

故选项只可以在B、D中选择，那么我们只要选择两个区间内的一个具体值试验，我们选择

，绘制下图，可知答案为D.

第10题

【答案】5

【解析】这是典型的等差通项为零的问题，这种问题需要很好的利用项与项相加的“集中特性”，即

，即

，那么

，则

，相比常规的基本量法速度更快。

第14题（ii）

【答案】

【解析】根据数列性质，

，约分即得

，化简得到

，只要让

大于等于

的最大值即可。在此，考生可以选择试验，当然会浪费一些时间，不过这里我们观察，

相加为定值，根据均值不等式我们知道，这几个数越平均加和越大，由于

为整数，所以可以为

，即的最小值

。本题切不可过分结合图像，这是一个数列问题，要有代数思维，所以思考问题也不能有过多惯性。

【复习建议及规划】

一、制定两套复习计划

所谓两套复习计划，第一，要根据学校的学习内容和进度，跟着老师完成学校内的复习内容，夯实知识点及内容，了解基本方法、基本问题，这是很多同学都在做的事情，在此不做赘述。第二，这是至关重要的一个复习计划，我们要根据自身的情况和考试所要求的能力特点完成一个针对自己能力思维提升的复习计划，基于对自己的了解，在梳理主干知识的同时完成重点模块的深入学习，对重点的方法思维进行系统规范的训练。

二、侧重方法及数学思维

从这次期中考试及2014、2015两年的高考试题不难看出，现在高考越来越灵活多变，在了解基础概念知识的基础之上强调灵活使用知识的能力，同时，侧重考生分析问题解决问题的能力。所以过分侧重知识本身和题型已经是相对落后的复习方法了，我们对于问题的处理要上升到数学方法和数学思维，要善于在题目中发现方法，通过不同方法的组合去了解相应的数学思维，这是之后复习各位考生应该注意的内容。

三、一轮后半程做好回顾

一轮复习前半程的重点知识内容在高考当中占分比例较大，同时难度较高的内容，后半程涉及的知识内容，除解析几何难度较大之外，其余的知识内容会相对容易一些，如立体几何及概率统计部分，考核方法相对固定，而且在试卷中的位置也比较靠前。那么，我们就要把能腾出来的时间进行相应的回顾。通过期中考试，我相信很多同学也发现了自己在前半程复习过程当中暴露出的问题，问题有两个方面，第一就是复习的方法及习惯，第二就是复习的知识本身。我们通过期中考试要及时的调整复习的方法和侧重点，不要再重复之前不科学的复习方法。对于知识上的漏洞，我们要及时的结合期中试卷进行相应的回炉，给自己腾出一些时间做一做前半程函数、数列等知识相关的内容。

四、不同层次学生对于“题海”的处理方案

最后，我们要谈一谈做题。高三的复习，做题是必不可少的环节，我们通过做题可以去巩固知识，同时也能很好的完善我们的步骤，尽量减少“想明白了写不出来”的尴尬，这都是做题我们应该去注意的内容。但是，对于不同的学生我们应该也有所侧重。（1）对于成绩相对较低，灵活程度不高的考生，我们要通过做题去学会拆分问题，把一个题目拆分成多个不同的小的环节，再去针对不同的小的环节作出针对的复习，切不可刻意追求题型等固化的知识内容，捷径诱人，但未必直通罗马。（2）对于成绩相对较好的同学，我希望大家在能细化问题的基础之上去了解多个小环节之间的逻辑联系，把不同的知识扎扎实实的嵌入到自己的知识体系当中，以此为基础去锻炼自己的逻辑分析能力和数学思维，做好进一步的提升、冲刺等更难更灵活的问题；（3）对于现阶段问题不多，成绩优异的学生，大家要做好两件事情。第一，通过做题去规范自己的数学方法，确保落笔即有分，学会更为标准的描述方法；第二，梳理已有的思路，提高自己做题的速度，确保今后在正式考试之中为冲刺压轴难题腾出更多的时间。

最后也是最重要的，各位考生要在之后的学习生活中要保证身体健康，这才是维持良好复习效率最关键的一环。

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